fin de la première partie du problème

Voici la démonstration de la dernière question de la première partie
Soit u un vecteur de l'image de p
Soit v un vecteur du noyau de p
Considérons le produit scalaire v.(u+tv)=v.u+t ||v||^2
On suppose v non nul et on choisit t tel que le produit scalaire
(1) v.(u+tv)=v.u+t ||v||^2 =0
c'est à dire t= -v.u/ ||v||^2 .
t ainsi choisi , les deux vecteurs v et u+tv sont orthogonaux et u=u+tv-tv
D'après le théorème de Pythagore , on a
||u||^2 = ||u+tv||^2+t^2||v||^2
Si t est non nul alors ||u||> ||u+tv|| (2)
Par hypothèse ||u+tv||>=||p(u+tv)|| or p(u+tv)= u (3)
d'où d'après (3) et (2) on a ||u||> ||u|| et on aboutit à une contradiction donc t= 0 et par suite v.u=0 (d'après (1))
donc
le noyau et l'image de p sont orthogonaux

Bon courage pour vos révisions et n'oubliez pas: vous êtes les meilleurs!